Partie E : aire sous une parabole : méthode des rectangles - Démonstration

Soit \(f\) la fonction carré définie sur l'intervalle \([0~;~1]\) par \(f(x) = x^2\).
On se place dans un repère orthogonal d'un plan. La courbe représentative de \(f\) dans ce repère, notée \(\mathcal C\), est une branche de parabole.
On considère le domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe \(\mathcal {C}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=1\).

Dans cette partie, on calcule un encadrement de l'aire \(\mathcal A\) du domaine `\mathcal D`, puis on démontre que  \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{3}\).

1. Pour réaliser un encadrement de \(\mathcal A\), on utilise la méthode des rectangles et on subdivise l'intervalle \([0~;1]\) en quatre sous-intervalles, chacun de longueur \(0{,}25\). On construit ensuite quatre rectangles « inférieurs » et quatre rectangles « supérieurs ».
Montrer que \(\dfrac{7}{32} \leqslant \mathcal{A} \leqslant \dfrac{15}{32}\) où \(\mathcal{A}\) représente l'aire exacte du domaine `\mathcal D`.

2. Soit \(n\) un entier strictement positif. Généraliser le calcul précédent avec \(n\) sous-intervalles de même longueur \(\dfrac{1}{n}\).
Montrer que \(\dfrac{1}{n^3}\left[1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2\right] \leqslant \mathcal{A} \leqslant \dfrac{1}{n^3}\left[1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 + n^2\right]\).

3. On admet que la somme des carrés des \(n\) premiers entiers naturels est donnée par :

\(1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

Montrer que \(\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3} \leqslant \mathcal{A} \leqslant \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\).

4. Montrer que \(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{6n^2} \leqslant \mathcal{A} \leqslant \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{6n^2}\).

5. Que dire de cet encadrement lorsque \(n\) devient « très grand » ?